звоните по номеру:

8 (3952) 972-936



Статьи

Теорема Эйлера, нанотехнологии, и геодезические купола

Если существует оптимальный вариант 
конструкции или процесса, то можно не
сомневаться, что природа использует именно его.
Лейбниц со ссылкой на Аристотеля.

 

В 1996г. Нобелевская премия по химии была присуждена англо-американскому коллективу ученых за экспериментальное открытие фуллеренов – многоатомных молекул чистого углерода. Атомы в таких молекулах располагаются так, что образуют вершины выпуклого многогранника, в частности наиболее стабильный фуллерен С60 имеет структуру усеченного икосаэдра. Первооткрыватели назвали новую молекулу в честь Р. Бакминстера Фуллера – американского инженера и архитектора, автора концепции геодезических куполов.

Конечно, Фуллер не подозревал о существовании фуллеренов, но само наличие такого класса углеродных молекул лишь подтверждает интуитивное открытие им того факта, что природа на самых разных уровнях пользуется геодезическими конструкциями. В любом случае, будь то вирус, микроорганизм или даже творение рук человеческих, например архитектурные сооружения, теорема Эйлера требует в такой структуре наряду с произвольным числом шестиугольных граней наличия 12 пятиугольников. Этот научный постулат о соотношении между числом вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) многогранников, утверждает, что для любого правильного многогранника В – Р + Г = 2. Формула Эйлера выполняется не только для выпуклых многогранников и даже не только для многогранников. Например, нарисуем на сфере любой связный граф, т.е. возьмём несколько точек (вершин) и соединим часть их линиями (рёбрами) так, чтобы из любой вершины можно было по рёбрам перейти в любую другую. Подсчитаем число образовавшихся «граней» - фрагментов, на которые линии разрезают сферу: число граней будет связано с числом вершин и рёбер тем же соотношением. Величина В – Р + Г, называемая эйлеровой характеристикой, будет равна 2 для всех многогранников, «устроенных как сфера» - они, образно говоря, превратятся в шарик, если сделать их из резины и надуть. А вот для тора эйлерова характеристика будет рана 0, для многогранников, имеющих n сквозных дыр она равна 2-2n, для любого семейства пересекающихся прямых на плоскости – 1. Одно из следствий теоремы Эйлера позывает, что выпуклый многогранник обязательно имеет либо треугольные, либо четырехугольные, либо пятиугольные грани. Это утверждение означает, в частности, что не существует выпуклого многогранника, у которого все грани были бы шестиугольниками. А это, в свою очередь, означает, что нельзя сконструировать молекулу углерода или купольную конструкцию со структурой только из шестиугольников. Поэтому в молекуле углерода С60, также как и в геодезических куполах Фуллера кроме шестиугольных присутствуют и пятиугольные грани.

stat001Предположив, что природа за миллионы лет эволюции «разработала» векторную систему сил, обеспечивающую наилучшие характеристики (сила, прочность и т.д.) при минимальном наборе структур, основу которых составляют тетраэдрические решетки, Фуллер предложил новую, векторную геометрию, названную им Энергетически-Синергетической геометрией или просто Синегетикой. Геометрия Фуллера была развита на экспериментальных наблюдениях поведения сфер равного диаметра, упаковка которых была плотной настолько насколько возможно, чтобы формировать регулярные геометрические фигуры. Основная и наиболее простая устойчивая геометрическая конфигурация синергетической геометрии – тетраэдр (tetrahedron), сформированный из четырех сфер прижатых друг к другу, в совершенной конфигурации треугольников, формирующих четыре угла в 60 градусов (рис. 1).

Куб, который является базой для наших современных методов строительства и x-y-z декартовая система координат, не является самой устойчивой конфигурацией. Восьми сферам, формирующим куб присуща неустойчивость. Чтобы получать устойчивость, им нужно исскусственно придать её, связывая между собой подобно тому, как связан тетраэдр. Таким образом, два тетраэдра из четырех сфер каждый, соединенные в соответствующих центрах, формирует один куб из восьми сфер. Четыре оси отсчета в этой системе координат - оси, которые проходят через каждую вершину тетраэдра, пересекаясь в средней точке и проходя через середину каждого из треугольников напротив этих вершин. Эти оси скоординированы с между собой под углами 109 градусов 28 минут. Четыре из них представляют минимальный набор осей отсчета, исходящих из общей начальной точки, необходимых для определения всех возможных направлений в физическом пространстве.

stat003

Так случается, что эта геометрия, которую создал Фуллер, находится в совершенном согласии с тем, как растут кристаллы в их различных формах, как устроены тетраэдрические структуры многих органических молекул, а их применение в инженерных конструкциях показывает нам возможность очень эффективных структур в целях экономии сырья и сил для строительства. Раскрутка сайтов
Повышенная прочность геодезических сфер и куполов обеспечивается тем, что их гранями являются треугольники, в некоторых случаях слегка изогнутые. Введенный Фуллером параметр – частота геодезического купола – определяется количеством элементарных треугольных граней многогранной структуры. Купола с повышенным значением частоты состоят из большего числа треугольных компонент, следовательно, они более прочны и эффективнее вписываются в сферу. В связи с этим, как постулировал Фуллер, и подтвердила практика, геодезические купола – в противоположность обычным сооружениям – становятся прочнее, легче и дешевле с увеличением их размеров.

Предложенная Фуллером в начале ХХ века умозрительная гипотеза об использовании природой в своих конструкциях геодезических форм все больше подтверждается. В 1940 – 1957гг. был разработан метод пространственного расположения атомов в молекулах ОВЭП (Отталкивание валентных электронных пар). Название отражает основное положение метода: электронные пары каждого атома в молекуле принимают такое расположение в пространстве, которое сводит к минимуму возможное отталкивание всех пар, окружающих ядро данного атома. Это расположение атомов соответствует наиболее прочному и устойчивому состоянию с минимальной энергией. Расчеты методом ОВЭП, подтвержденные впоследствии рентгено-структурным экспериментом, показали, что наименьшее отталкивание четырех электронных пар соответствует расположению атомов в углах тетраэдра (просто тетраэдр, как это и заметил Фуллер, наиболее лаконичный многогранник с четырьмя вершинами, который можно вписать в сферу!). В данном случае это молекула насыщенного черырехвалентного углерода. Структура молекулы с пятью внешними атомами соответствует тригональной бипирамиде, с шестью – октаэдру, с двенадцатью – икосаэдру. В любом случае грани подобных многогранников представляют собой прочные треугольники. Анализируя форму скелета радиолярий (морских планктонных одноклеточных организмов), мы увидим в их основе те же фуллереноподобные структуры, сочетающие пяти и шестиугольные элементы.

stat005

На рисунке А и Б – Молекулы фуллеренов, В – радиолярия Aulonia hexagona.

Недаром статья выдающегося российского математика и философа Д.Д.Мордухай-Болтовского «Геометрия радиолярий» начинается словами «правильные формы в природе объясняются экономией материала…» Следующий замечательный пример фуллереноподобных структур в живой природе, а точнее – на границе между живой и неживой природой – строение бактериофагов. Это особый тип вирусов, избирательно вызывающий разрушение бактерий. Головки многих фагов имеют форму икосаэдра или иной фуллереноподобной частицы с икосаэдральной симметрией. Подобные структуры встречаются и в растительном мире – бутоны некоторых цветов однозначно напоминают усеченный икосаэдр, такую же форму могут иметь колонии водорослей и т.д. Подобное сходство природных структур можно рассматривать как пример биоминеральной гомологии, то есть приобретения общих черт существенно различными химическими, минералогическими и биологическими объектами, действующими согласно сходным внутренним программам. Эти программы минимизируют энергетические и материальные затраты в пространствах существенно разных возможностей. Это именно то качество природных систем, сквозь которое проглядывает единство окружающего нас мира. И если человечество желает быть с этим миром в гармонии, оно должно использовать природные принципы построения материальных объектов.

Использованные источники:

  • Книга "Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры" автор Е.А.Кац. Книжный дом "ЛИБРОКОМ", Москва 2009.
  • hasslberger.com

 

 

Закажите свой дом

прямо сейчас!